Percolación. Introducción a los procesos estocásticos.

Modelo:

Sea una conjunto de N ordenadores interconectados entre si de forma que cualquier usuario de uno de ellos puede comunicarse con cualquier otro ordenador. Por simplicidad (sin que ello afecte a los fenómenos que queremos estudiar) supondremos que cada ordenador está situado en un nodo de un retículo cuadrado de lado L. Además supondremos que un ordenador solo está conectado con sus vecinos más próximos de la red. De esta forma, si un usuario del ordenador A envia un mensaje a otro usuario del ordenador B, para que éste llegue, debe de existir al menos un camino de ordenadores interconectados entre A y B. En el caso de que todos los nodos de la red estén ocupados por ordenadores que funcionan la comunicación entre A y B está garantizada. Sin embargo, supongamos que en un cierto momento hay una proporción 1-p de ordenadores estropeados y/o apagados y que éstos se distribuyen aleatoriamente por la red. Es obvio que si p = 0 (i.e. todos estropeados) es imposible que cualquier usuario de A se conecte con cualquier otro en B. Si p tiene valores cercanos a cero, tampoco esperamos que sea posible esa interconectividad si A y B están muy alejados. De hecho, se sabe que existe un valor crítico de p que llamaremos pc de forma que si p > pc existe al menos un conjunto de ordenadores interconectados que se extiende por toda la red. Si p < pc tendremos zonas de ordenadores interconectados pero que no se extienden por toda la red. Lo que hace interesante a este modelo es comprender lo que ocurre alrededor de pc y en pc. En particular para p = pc la estructura geométrica del agrupamiento de ordenadores interconectados más grande tiene estructura fractal. Esta propiedad asi como muchas otras es debida a que p = pc es un punto crítico y el sistema tiene un cambio de fase: de fase conexa p > pc a fase no conexa p < pc.

Problemas:

Método numérico:

Lo más directo para generar una configuración de ordenadores donde la proporción 1-p de ellos no funciona sería el barrer secuencialmente la red (i,j) donde i,j Î (1,2,...,L). Con probabilidad p daríamos valor a N(i,j) = 1 y con probabilidad 1-p valor N(i,j) = 0 donde N(i,j) representa que el ordenador en (i,j) está funcionando o no respectivamente. El problema del anterior algoritmo es que generamos una configuración donde conviven agrupamientos grandes y pequeños mezclados entre si, de forma que para detectar la distribución de tamaños y/o el agrupamiento más grande hemos de (posteriormente) recurrir a algoritmos sofisticados para su detección. Nosotros vamos a utilizar un método alternativo que genera agrupamientos típicos para un p dado. Para ello utilizamos un proceso de crecimiento: