Contenido:

Complejidad. Irreversibilidad. No linealidad. Autómatas y sistemas reticulares con interacciones. Puntos críticos. Homogeneidad. Caos. Universalidad. Ruidos. Difusión. Ecuación de Langevin. Leyes potenciales. Redes complejas. Geometría fractal. Invariancia de escala. Aplicaciones recientes en física y sus extensiones a biología, neurociencia, sociología, economía, etc.

Programa:

El programa detallado, que constantemente vamos actualizando siguiendo el contenido y el esquema indicados, es:

· CAPÍTULO 1 — Introducción y método.

Acerca del carácter de la asignatura. ¿Qué es complejidad? Niveles de descripción en la naturaleza. Cooperación natural. Metáforas matemáticas y su simulación en el ordenador. Ejemplo de Bak y Sneppen y sus consecuencias. Irreversibilidad macroscópica. Orden y universalidad. Falta de linealidad en la naturaleza. El método científico y cómo distinguir ciencia de otras cosas. Referencias y ejercicios.

· CAPÍTULO 2 — Autómatas y modelos reticulares con interacciones.

Autómatas celulares: el juego de la vida de Conway y otros ejemplos; utilidad en física. Gas reticular de Frisch, Hasslacher y Pomeau y modelos tipo Lattice Boltzmann. Agregación en un sencillo modelo de mezcla. Modelos reticulares: hamiltoniano para aleación binaria y transición orden-desorden, modelo de Lenz-Ising, modelo de Heisenberg, su motivación y variantes, gas reticular de Yang y Lee. Soluciones del modelo de Ising; otros modelos con solución exacta; teorema de Peierls. Otros modelos reticulares: modelo del votante, procesos de voto por mayoría, modelo de Toom, procesos de contacto, gas reticular con arrastre. Sorteos, cálculo de π y de integrales definidas. Modelos de tráfico tipo Nagel-Schreckenberg. Movimiento de manadas y comportamiento gregario. Algoritmos genéticos; optimización. Referencias y ejercicios.

· CAPÍTULO 3 — Sistemas dinámicos y complejidad. Teoría del caos. Ruidos.

Sensibilidad a la condición inicial: ejemplos. Aire en convención. Ecuaciones para la noria de agua. Puntos fijos y bifurcaciones. Atractores y sus clases. Orden en el caos. Mapa de Lorenz. Espacio de parámetros. Caos en logística y ecología; mapa logístico y su interpretación. Sistemas dinámicos; espacio de las fases. Caos y ergodicidad. Hamiltoniano de Henon-Heiles y anillo de almacenamiento. Universalidad. Número de Feigenbaum. Estudio sistemático de mapas unidimensionales: estabilidad, telarañas, duplicación de período, ventanas, ruta hacia el caos, universalidad, primer contacto con el concepto de renormalización, caos cuántico. Utilidad del caos. Caos en la naturaleza: algunos ejemplos; los sistemas complejos no son Hamiltonianos pero pueden mostrar caos aparente. Ruido en ciencia. Espectro; ruidos de colores.

· CAPÍTULO 4 — Fenómenos críticos. Auto organización. Percolación.

Punto crítico en la condensación. Opalescencia crítica. Teoría de Einstein para las fluctuaciones. Divergencias. Correlación y orden. Longitud de correlación. Parámetros de orden. Clases de universalidad. Percolación; propiedades y aplicaciones. Fuego en el bosque. Discusión y ejercicios.

· CAPÍTULO 5 — Movimiento browniano. Langevin. Anormalidades.

Probabilidad “normal”. Definición de histograma, función densidad, media, varianza, desviación estándar, función de Gauss, función de distribución. Movimiento browniano. Paseo del borracho: camino aleatorio. Solución caso unidimensional: distribución de Bernouilli, límite continuo. Barreras reflectantes y absorbentes. Procesos estocásticos. Procesos de Markov. Ecuación Smoluchowski-Chapman-Kolmogorev. La ecuación de Fokker-Planck. Ecuación de Langevin. Solución. Difusión. Ley de Fick. Coeficientes de transporte. Ecuación de Langevin generalizada o de Mori. Obtención microscópica de la ecuación de Langevin, límite browniano. Probabilidades y difusión “anormales”. Sub-difusión y super-difusión. Vuelos de Lévy. Distribuciones potenciales. Procesos de crecimiento. DLA. Crecimiento multiplicativo. Crecimiento epitaxial. Crecimiento de tumores. Macromoléculas.

· CAPÍTULO 6 — Invariancia de escala. Redes complejas. Homogeneidad.

Avalanchas. Escala. Invariancia de escala. Fractalidad: ejemplos, dimensión fractal, aplicaciones. Auto-semejanza. Otras “rarezas”. Criticalidad auto-organizada, pilas de arena, modelo de Burridge-Knopoff para el origen de terremotos. Óptimo y tolerante. Otras posibles causas de leyes potenciales. Grafos y redes. Topología: falta de escala y pequeño mundo. Redes complejas: ejemplos y aplicaciones. Homogeneidad. Desigualdades entre exponentes críticos. Leyes de escala y ecuaciones de estado. Universalidad. Teoría de Kadanoff de las leyes de escala, construcción de bloques. Formulación de Wilson. Ecuaciones del grupo de renormalización. Consecuencias y aplicación al modelo de Ising.

· CAPÍTULO 7 — Otras aplicaciones de conceptos y métodos estudiados.

Estudio de redes complejas en neurociencia y de otros casos relevantes por determinar (de biología, sociología, econofísica, etc.) aplicando el contenido del curso.